机器数以及码制

各种数据在计算机内的表现形式称为机器数,特点是采用二进制计数制,数的符号用01表示,小数点则隐含表示而不占位。真值是机器数所代表的实际数值。

机器数有无符号数和带符号数两种。无符号数表示正数,没有符号位。对无符号数,如果约定小数点的位置在机器数的最低位之后,则是纯整数;如果约定小数点的位置在机器数的最高位之前,则是纯小数。带符号数的最高位时符号位,其余位表示数值,同样,如果约定小数点的位置在机器数的最低位之后,则是纯整数;如约定小数点位置在最高数值位之前(符号位之后),则是纯小数。

为方便计算,带符号位的机器数可采用 原码、反码、以及补码等不同的编码方法,这些编码方法称之为码制。
一个有符号定点数的最高位为符号位,0是正,1是负。

以下都以8位整数为例,

原码就是这个数本身的二进制形式。
例如
0000001 就是+1
1000001 就是-1

正数的反码和补码都是和原码相同。

负数的反码是将其原码除符号位之外的各位求反

[-3]=[10000011]=11111100

负数的补码是将其原码除符号位之外的各位求反之后在末位再加1

[-3]=[10000011]=11111101

一个数和它的补码是可逆的。

为什么要设立补码呢?

第一是为了能让计算机执行减法:

[a-b]=a+-b)补

第二个原因是为了统一正0和负0

正零:00000000
负零:10000000
这两个数其实都是0,但他们的原码却有不同的表示。
但是他们的补码是一样的,都是00000000
特别注意,如果+1之后有进位的,要一直往前进位,包括符号位!(这和反码是不同的!)
[10000000]
=[10000000]+1
=11111111+1
=(1)00000000
=00000000(最高位溢出了,符号位变成了0

有人会问
10000000这个补码表示的哪个数的补码呢?
其实这是一个规定,这个数表示的是-128
所以n位补码能表示的范围是
-2^(n-1)2^(n-1)-1
n位原码能表示的数多一个

又例:
1011
原码:01011
反码:01011 //正数时,反码=原码
补码:01011 //正数时,补码=原码

-1011
原码:11011
反码:10100 //负数时,反码为原码取反
补码:10101 //负数时,补码为原码取反+1

01101
原码:0.1101
反码:0.1101 //正数时,反码=原码
补码:0.1101 //正数时,补码=原码

-01101
原码:1.1101
反码:1.0010 //负数时,反码为原码取反
补码:1.0011 //负数时,补码为原码取反+1

总结:

所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法,即最高位为符号位,0表示正,1表示负,其余位表示数值的大小。

反码表示法规定:正数的反码与其原码相同;负数的反码是对其原码逐位取反,但符号位除外。

补码表示法规定:正数的补码与其原码相同;负数的补码是在其反码的末位加1

 

原码、反码和补码的表示方法

 

1)原码:在数值前直接加一符号位的表示法。

例如:        符号位    数值位

[+7]=     0      0000111    B

[-7]=     1      0000111    B

注意:a. 0的原码有两种形式:

[+0]=00000000B      [-0]=10000000B

b. 8位二进制原码的表示范围:-127+127

 

2)反码:

正数:正数的反码与原码相同。

负数:负数的反码,符号位为1,数值部分按位取反。

例如: 符号位     数值位

[+7]=   0     0000111    B

[-7]=    1     1111000    B

注意:a. 0的反码也有两种形式,即

[+0]=00000000B

[- 0]=11111111B

b. 8位二进制反码的表示范围:-127+127

 

3)补码的表示: 正数:正数的补码和原码相同。

负数:负数的补码则是符号位为1,数值部分按位取反后再在末位(最低位)加1。也就是反码+1

例如:    符号位 数值位

[+7]=     0     0000111    B

[-7]=     1     1111001    B

补码在微型机中是一种重要的编码形式,请注意:

a.采用补码后,可以方便地将减法运算转化成加法运算,运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值,而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算,所得结果仍为补码。

b.与原码、反码不同,数值0的补码只有一个,即         [0]=00000000B

c.若字长为8位,则补码所表示的范围为-128+127;进行补码运算时,应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。

 

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